카드 구매하기

문제

요즘 민규네 동네에서는 스타트링크에서 만든 PS카드를 모으는 것이 유행이다.

PS카드는 PS(Problem Solving)분야에서 유명한 사람들의 아이디와 얼굴이 적혀있는 카드이다. 각각의 카드에는 등급을 나타내는 색이 칠해져 있고, 다음과 같이 8가지가 있다.

전설카드
레드카드
오렌지카드
퍼플카드
블루카드
청록카드
그린카드
그레이카드

카드는 카드팩의 형태로만 구매할 수 있고, 카드팩의 종류는 카드 1개가 포함된 카드팩, 카드 2개가 포함된 카드팩, … 카드 N개가 포함된 카드팩과 같이 총 N가지가 존재한다.

민규는 카드의 개수가 적은 팩이더라도 가격이 비싸면 높은 등급의 카드가 많이 들어있을 것이라는 미신을 믿고 있다. 따라서, 민규는 돈을 최대한 많이 지불해서 카드 N개 구매하려고 한다. 카드가 i개 포함된 카드팩의 가격은 Pi원이다.

예를 들어, 카드팩이 총 4가지 종류가 있고, P1 = 1, P2 = 5, P3 = 6, P4 = 7인 경우에 민규가 카드 4개를 갖기 위해 지불해야 하는 금액의 최댓값은 10원이다. 2개 들어있는 카드팩을 2번 사면 된다.

P1 = 5, P2 = 2, P3 = 8, P4 = 10인 경우에는 카드가 1개 들어있는 카드팩을 4번 사면 20원이고, 이 경우가 민규가 지불해야 하는 금액의 최댓값이다.

마지막으로, P1 = 3, P2 = 5, P3 = 15, P4 = 16인 경우에는 3개 들어있는 카드팩과 1개 들어있는 카드팩을 구매해 18원을 지불하는 것이 최댓값이다.

카드 팩의 가격이 주어졌을 때, N개의 카드를 구매하기 위해 민규가 지불해야 하는 금액의 최댓값을 구하는 프로그램을 작성하시오. N개보다 많은 개수의 카드를 산 다음, 나머지 카드를 버려서 N개를 만드는 것은 불가능하다. 즉, 구매한 카드팩에 포함되어 있는 카드 개수의 합은 N과 같아야 한다.

입력

첫째 줄에 민규가 구매하려고 하는 카드의 개수 N이 주어진다. (1 ≤ N ≤ 1,000)

둘째 줄에는 Pi가 P1부터 PN까지 순서대로 주어진다. (1 ≤ Pi ≤ 10,000)

출력

첫째 줄에 민규가 카드 N개를 갖기 위해 지불해야 하는 금액의 최댓값을 출력한다.

예제 입력 1

4
1 5 6 7

예제 출력 1

10

예제 입력 2

5
10 9 8 7 6

예제 출력 2

50

예제 입력 3

10
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

예제 출력 3

55

예제 입력 4

10
5 10 11 12 13 30 35 40 45 47

예제 출력 4

50

예제 입력 5

4
5 2 8 10

예제 출력 5

20

예제 입력 6

4
3 5 15 16

예제 출력 6

18

마지막에 산 팩을 기준으로 나누기

카드 N개를 만드는 마지막 구매가 j개짜리 팩이었다면, 그 전에는 정확히 N-j개를 샀어야 한다. 그때의 최대 지불액이 dp[N-j]이고 이번 팩 가격이 P[j]다. 모든 j를 시도하면 dp[i] = max(dp[i-j] + P[j]) (1 ≤ j ≤ i)가 된다. dp[0]=0은 아무 팩도 사지 않은 상태로, 첫 팩만 사는 경우도 같은 식에 포함시킨다.

첫 예제 P=[1,5,6,7]을 추적하면 dp[1]=1, dp[2]=5, dp[3]=6이다. 네 장에서는 4개짜리 한 팩 7원, 3+1장 7원, 2+2장 10원, 1+3장 7원 중 10원을 고른다. N장을 초과해서 사는 경우는 식에 들어오지 않는다. j를 i 이하로만 순회하기 때문이다.

P1의 가격이 유난히 크면 1개짜리 팩을 반복하는 편이 이득일 수 있다. 이 문제는 최소 지불액이 아니라 최대 지불액이므로 일반적인 ‘싸게 사기’ 직관을 적용하면 반대 답이 나온다. 두 겹 반복문의 시간은 O(N²), dp 공간은 O(N)이다. 가격이 최대 10,000이고 N이 최대 1,000이어서 결과 최대 1,000만은 int에 들어간다.

소스코드

import java.io.BufferedReader;
import java.io.BufferedWriter;
import java.io.InputStreamReader;
import java.io.OutputStreamWriter;

public class Main {

    public static void main(String[] args) throws Exception {
        BufferedWriter out = new BufferedWriter(new OutputStreamWriter(System.out));
        BufferedReader in = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        int n = Integer.parseInt(in.readLine());
        String[] ar = in.readLine().split(" ");
        int[] p = new int[n+1];
        for (int i = 1; i<=n; i++) {
            p[i] = Integer.parseInt(ar[i-1]);
        }
        out.write("" + cardBuy(p, n));
        out.write("\n");
        out.flush();
        out.close();
        in.close();
    }

    public static int cardBuy(int[] p, int n) {
        int[] dp = new int[n + 1];
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= i; j++) {
                dp[i] = Math.max(dp[i], dp[i - j] + p[j]);
            }
        }
        return dp[n];
    }
}

문제 원문: 백준 11052번