[BAEKJOON_1011] Fly me to the Alpha Centauri

문제

우현이는 어린 시절, 지구 외의 다른 행성에서도 인류들이 살아갈 수 있는 미래가 오리라 믿었다. 그리고 그가 지구라는 세상에 발을 내려 놓은 지 23년이 지난 지금, 세계 최연소 ASNA 우주 비행사가 되어 새로운 세계에 발을 내려 놓는 영광의 순간을 기다리고 있다.

그가 탑승하게 될 우주선은 Alpha Centauri라는 새로운 인류의 보금자리를 개척하기 위한 대규모 생활 유지 시스템을 탑재하고 있기 때문에, 그 크기와 질량이 엄청난 이유로 최신기술력을 총 동원하여 개발한 공간이동 장치를 탑재하였다. 하지만 이 공간이동 장치는 이동 거리를 급격하게 늘릴 경우 기계에 심각한 결함이 발생하는 단점이 있어서, 이전 작동시기에 k광년을 이동하였을 때는 k-1 , k 혹은 k+1 광년만을 다시 이동할 수 있다. 예를 들어, 이 장치를 처음 작동시킬 경우 -1 , 0 , 1 광년을 이론상 이동할 수 있으나 사실상 음수 혹은 0 거리만큼의 이동은 의미가 없으므로 1 광년을 이동할 수 있으며, 그 다음에는 0 , 1 , 2 광년을 이동할 수 있는 것이다. ( 여기서 다시 2광년을 이동한다면 다음 시기엔 1, 2, 3 광년을 이동할 수 있다. )

김우현은 공간이동 장치 작동시의 에너지 소모가 크다는 점을 잘 알고 있기 때문에 x지점에서 y지점을 향해 최소한의 작동 횟수로 이동하려 한다. 하지만 y지점에 도착해서도 공간 이동장치의 안전성을 위하여 y지점에 도착하기 바로 직전의 이동거리는 반드시 1광년으로 하려 한다.

김우현을 위해 x지점부터 정확히 y지점으로 이동하는데 필요한 공간 이동 장치 작동 횟수의 최솟값을 구하는 프로그램을 작성하라.

입력

입력의 첫 줄에는 테스트케이스의 개수 T가 주어진다. 각각의 테스트 케이스에 대해 현재 위치 x 와 목표 위치 y 가 정수로 주어지며, x는 항상 y보다 작은 값을 갖는다. ( 0 ≤ x < y < 2^31)

출력

각 테스트 케이스에 대해 x지점으로부터 y지점까지 정확히 도달하는데 필요한 최소한의 공간이동 장치 작동 회수를 출력한다.

예제입력 3 0 3 1 5 45 50

예제 출력 3 3 4

해결

k광년을 이동하는데 k-1, k, k+1 만을 이동할 수 있고 처음과 끝은 무조건 1광년이다

만약 거리가 5라면

1 2 1 1 = 합 5, 최소 횟수 4 이런식으로 나타낼 수 있다.

차수	순서	최대 거리	워프한 횟수	최고속도
1	1	1	1	1
2	1 2 1	4	3	2
3	1 2 3 2 1	9	5	3
4	1 2 3 4 3 2 1	16	7	4
…	…	…	…	…
num	1 … num … 1	num^2	2 * num - 1	num

이 표에서 k번째 정점까지 올랐다 내려오는 2k−1회의 최대 거리가 k²임을 볼 수 있다. 실제 거리가 그보다 크면 가운데에 이동 한 번 또는 두 번을 추가해야 한다. 아래 코드는 먼저 정수 제곱근 k를 구한 뒤 남은 거리가 어느 구간에 속하는지 비교한다.

이동 횟수의 경계 구하기

첫 이동과 마지막 이동이 1이고 인접한 두 이동의 차이가 최대 1이다. 이동 횟수가 고정되었을 때 가장 멀리 가려면 가운데로 갈수록 1씩 늘리고 다시 1씩 줄여야 한다. 예를 들어 5번 이동하면 1, 2, 3, 2, 1로 최대 9를 이동한다. 6번이면 가운데 3을 한 번 더 넣어 최대 12다. 이동 횟수를 최소화하는 문제를 이 최대 거리의 경계로 바꿀 수 있다.

거리 구간	최소 작동 횟수	최대 이동 형태
정확히 k²	2k−1	1에서 k까지 올라갔다 내려옴
k²보다 크고 k²+k 이하	2k	꼭대기 k를 한 번 더 사용
k²+k보다 크고 (k+1)² 미만	2k+1	다음 길이의 이동이 필요

거리 5는 k=2이므로 4번, 거리 6도 4번, 거리 7은 5번이다. 경계인 4와 9에서는 각각 3번과 5번이다. 먼저 거리의 정수 제곱근 k를 찾고 위 세 구간 중 어디에 있는지 판정한다. 코드의 두 while은 부동소수점 제곱근을 정수로 바꿀 때 경계가 어긋나지 않도록 보정한다.

입력의 y−x는 최대 약 21억이므로 long으로 거리와 제곱을 계산한다. 테스트 한 건당 연산은 상수 번, 추가 공간도 상수 크기다. 기존 풀이처럼 1부터 제곱을 늘리면 거리마다 O(√거리) 반복이 필요하지만 이 구현은 제곱근을 바로 구한다.

코드

import java.io.BufferedReader;
import java.io.InputStreamReader;
import java.util.StringTokenizer;

public class Main {
    public static void main(String[] args) throws Exception {
        BufferedReader in = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        int cases = Integer.parseInt(in.readLine());
        StringBuilder out = new StringBuilder();

        while (cases-- > 0) {
            StringTokenizer st = new StringTokenizer(in.readLine());
            long x = Long.parseLong(st.nextToken());
            long y = Long.parseLong(st.nextToken());
            long distance = y - x;

            long k = (long) Math.sqrt(distance);
            while ((k + 1) * (k + 1) <= distance) k++;
            while (k * k > distance) k--;

            long answer;
            if (distance == k * k) {
                answer = 2 * k - 1;
            } else if (distance <= k * k + k) {
                answer = 2 * k;
            } else {
                answer = 2 * k + 1;
            }
            out.append(answer).append('\n');
        }
        System.out.print(out);
    }
}

백준 원문 문제